[{"data":1,"prerenderedAt":246},["ShallowReactive",2],{"article:m-n-kappa:nl":3},{"title":4,"seoTitle":5,"description":6,"label":7,"lead":8,"blocks":9},"Wat is een M-N-κ-diagram en hoe gebruik je het?","M-N-κ-diagram: wat het is en hoe je het gebruikt · Struct4U","Het M-N-κ-diagram van een betondoorsnede: wat het laat zien, hoe je het berekent, welke spanning-rekrelaties je gebruikt, met een rekenvoorbeeld (EC2).","NEN-EN 1992-1-1 · §3.1.7 · §5.8.6 · §7.4.3","Een M-N-κ-diagram geeft het verband tussen het buigend moment *M* en de kromming *κ* van een gewapende betondoorsnede, bij een gegeven normaalkracht *N*. Zo wordt een doorsnede een stijfheid waarmee je kunt rekenen: voor de doorbuiging van een gescheurde ligger, voor tweede-orde-effecten in een kolom en voor elke niet-lineaire berekening.",[10,14,17,19,25,27,30,32,34,39,42,44,51,53,56,58,87,89,92,94,111,126,147,149,152,176,178,181,184,186,188,190,192,194,196,199,201,203,215,225,231,234,240],{"type":11,"id":12,"text":13},"h2","wat","Wat het diagram laat zien",{"type":15,"text":16},"p","Kromming is de rotatie per lengte-eenheid van de staafas: *κ* = 1\u002F*r*, het omgekeerde van de kromtestraal. Omdat vlakke doorsneden vlak blijven, is het ook het rekverloop over de hoogte. Met een drukrek *ε*_{c} aan de bovenzijde en een trekrek *ε*_{s} in de wapening op diepte *d* geldt *κ* = (*ε*_{c} + *ε*_{s}) \u002F *d*.",{"type":15,"text":18},"Voor een lineair-elastisch materiaal is het verband een rechte lijn, *M* = *EI* · *κ*. Gewapend beton is niet lineair: het scheurt, het staal vloeit en het beton bezwijkt op druk. Het M-κ-diagram legt dat gedrag vast in één lijn, in drie fasen.",{"type":20,"items":21},"list",[22,23,24],"**Ongescheurd** (stadium I). Beton en staal werken samen en de stijfheid is *E*_{cm}*I*_{I}. Deze fase eindigt bij het scheurmoment *M*_{cr}, als de trekspanning *f*_{ctm} bereikt.","**Gescheurd** (stadium II). Ter plaatse van een scheur telt het beton in de trekzone niet meer mee en daalt de stijfheid, vaak tot een kwart of een derde van de ongescheurde waarde. Tussen de scheuren draagt het beton nog wel wat trek mee (tension stiffening), dus de werkelijke lijn ligt tussen de ongescheurde en de volledig gescheurde lijn.","**Vloeien en bezwijken**. Zodra de wapening vloeit, stijgt het moment nauwelijks nog terwijl de kromming blijft toenemen, tot het beton aan de gedrukte zijde zijn uiterste rek *ε*_{cu} bereikt. Dat punt geeft de momentcapaciteit en de rotatiecapaciteit, een maat voor de taaiheid.",{"type":15,"text":26},"Wat een ligger- of raamwerkberekening nodig heeft, is de secansstijfheid *EI*_{sec} = *M* \u002F *κ* bij het moment dat werkelijk optreedt. Die hangt af van dat moment, en daarom is gescheurd beton fysisch niet-lineair.",{"type":11,"id":28,"text":29},"normaalkracht","Waarom de normaalkracht *N* ertoe doet",{"type":15,"text":31},"Een normaalkracht verandert elk punt van de lijn. Druk stelt het scheuren uit, omdat de buiging die druk eerst moet overwinnen. Druk verhoogt de momentcapaciteit tot aan het balanspunt, waar het staal vloeit op het moment dat het beton bezwijkt; voorbij dat punt verlaagt meer druk de momentcapaciteit weer. En druk verkleint de kromming bij bezwijken: de doorsnede wordt sterker maar minder taai.",{"type":15,"text":33},"Eén doorsnede heeft dus een familie van lijnen, één voor elke waarde van *N*: een M-N-κ-diagram. FIG. 1 toont er drie voor de doorsnede uit het rekenvoorbeeld hieronder.",{"type":35,"diagram":36,"caption":37,"clause":38},"figure","mnk-uls","M-κ-lijnen van een doorsnede 300 × 500 mm in C30\u002F37 met 3Ø20 onder, voor *N* = 0, 500 en 1000 kN druk. Rekenwaarden van de spanning-rekrelaties (parabool-rechthoek voor beton, horizontale tak voor staal), beton in de trekzone verwaarloosd. Elke lijn eindigt waar de bovenste vezel *ε*_{cu2} = 3,5 ‰ bereikt.","NEN-EN 1992-1-1 §3.1.7, §3.2.7, §6.1",{"type":11,"id":40,"text":41},"berekening","Hoe je het diagram berekent",{"type":15,"text":43},"De berekening volgt de uitgangspunten van NEN-EN 1992-1-1 §6.1(2): vlakke doorsneden blijven vlak, aanhechtende wapening heeft dezelfde rek als het omringende beton, en elk materiaal volgt zijn eigen spanning-rekrelatie. Eén punt van het diagram kost vier stappen.",{"type":20,"ordered":45,"items":46},true,[47,48,49,50],"Kies een kromming *κ*.","Zoek de rek in de bovenste vezel waarbij de inwendige krachten samen gelijk zijn aan de optredende normaalkracht *N*. Dat vraagt iteratie, omdat de spanning-rekrelaties niet lineair zijn.","Integreer de spanningen van dat rekverloop over de doorsnede; dat geeft het moment *M*.","Herhaal dit voor een oplopende *κ* tot het beton of het staal zijn rekgrens bereikt.",{"type":15,"text":52},"Software doet dit met een vezelmodel: het beton wordt in dunne lagen verdeeld en elke wapeningsstaaf is een punt. Zo kan elke vorm worden berekend, van T-balken tot kokerdoorsneden en wanden met wapening in meerdere lagen.",{"type":11,"id":54,"text":55},"spanning-rek","Welke spanning-rekrelaties je gebruikt",{"type":15,"text":57},"Dat hangt af van waar het diagram voor is. De verkeerde set kiezen is de meest gemaakte fout met M-κ-diagrammen.",{"type":59,"head":60,"rows":65,"note":86},"table",[61,62,63,64],"Doel","Beton","Wapening","Artikel",[66,71,76,81],[67,68,69,70],"Doorbuiging, kortdurend (BGT)","gemiddelde waarden: *E*_{cm}; scheuren bij *f*_{ctm}","elastisch, *E*_{s} = 200 000 N\u002Fmm²","§7.4.3",[72,73,74,75],"Doorbuiging, langdurend (BGT)","effectieve elasticiteitsmodulus *E*_{c,eff} = *E*_{cm} \u002F (1 + *φ*(∞,*t*_{0}))","als hierboven","§7.4.3 (7.20)",[77,78,79,80],"Sterkte van de doorsnede (UGT)","rekenwaarde van de relatie (parabool-rechthoek of bilineair), *f*_{cd} = *α*_{cc}*f*_{ck} \u002F *γ*_{c}; trek verwaarloosd","rekenwaarde, *f*_{yd} = *f*_{yk} \u002F *γ*_{s}","§3.1.7, §3.2.7, §6.1",[82,83,84,85],"Niet-lineaire berekening van slanke kolommen","relatie (3.14) met *f*_{cd} en *E*_{cd} = *E*_{cm} \u002F *γ*_{cE}; inclusief kruip","rekenwaarden","§3.1.5, §5.8.6","*γ*_{cE} = 1,2 is de aanbevolen waarde in §5.8.6(3); de nationale bijlage kan een andere waarde geven. In de Nederlandse nationale bijlage is *α*_{cc} = 1,0.",{"type":15,"text":88},"Voor een doorbuiging beschrijft het diagram het te verwachten gedrag, dus het gebruikt gemiddelde materiaalwaarden. Voor de sterkte zitten de partiële factoren al in de relaties, en de top van het diagram is dan direct de rekenwaarde van de momentcapaciteit *M*_{Rd}.",{"type":11,"id":90,"text":91},"voorbeeld","Rekenvoorbeeld: een rechthoekige ligger",{"type":15,"text":93},"Een ligger van 300 × 500 mm in C30\u002F37 met 3Ø20 B500B onder: *A*_{s} = 942 mm², *d* = 450 mm, geen normaalkracht. Uit tabel 3.1: *f*_{ctm} = 2,9 N\u002Fmm² en *E*_{cm} = 33 000 N\u002Fmm². Om de handberekening kort te houden, gebruikt de ongescheurde stijfheid de bruto betondoorsnede; met de wapening erbij wordt die een paar procent hoger.",{"type":95,"title":96,"clause":97,"rows":98},"formula","Stadium I: ongescheurd","NEN-EN 1992-1-1 §7.4.3",[99,102,105,108],{"s":100,"f":101},"*I*_{I}","= *b h*^{3} \u002F 12 = 300 · 500^{3} \u002F 12 = 3125 · 10^{6} mm^{4}",{"s":103,"f":104,"res":45},"*E*_{cm}*I*_{I}","= 33 000 · 3125 · 10^{6} Nmm² = **103,1 MNm²**",{"s":106,"f":107,"res":45},"*M*_{cr}","= *f*_{ctm} · *b h*^{2} \u002F 6 = 2,9 · 300 · 500^{2} \u002F 6 = **36,3 kNm**",{"s":109,"f":110},"*κ*_{cr}","= *M*_{cr} \u002F *E*_{cm}*I*_{I} = 36,25 \u002F 103 125 = 0,35 · 10^{−3} m^{−1}",{"type":95,"title":112,"clause":97,"rows":113},"Stadium II: volledig gescheurd, elastisch",[114,117,120,123],{"s":115,"f":116},"*α*_{e}","= *E*_{s} \u002F *E*_{cm} = 200 000 \u002F 33 000 = 6,06",{"s":118,"f":119},"*x*","uit *b x*^{2} \u002F 2 = *α*_{e} *A*_{s} (*d* − *x*): *x* = 113,2 mm",{"s":121,"f":122},"*I*_{II}","= *b x*^{3} \u002F 3 + *α*_{e} *A*_{s} (*d* − *x*)^{2} = 793 · 10^{6} mm^{4}",{"s":124,"f":125,"res":45},"*E*_{cm}*I*_{II}","= 33 000 · 793 · 10^{6} Nmm² = **26,2 MNm²**, een kwart van *E*_{cm}*I*_{I}",{"type":95,"title":127,"clause":128,"rows":129},"Daartussen: *M* = 60 kNm, kortdurende belasting","NEN-EN 1992-1-1 (7.18), (7.19)",[130,134,137,140,144],{"s":131,"f":132,"ref":133},"*ζ*","= 1 − *β* (*M*_{cr} \u002F *M*)^{2} = 1 − 1,0 · (36,25 \u002F 60)^{2} = 0,635","(7.19)",{"s":135,"f":136},"*κ*_{I}","= 60 \u002F 103 125 = 0,58 · 10^{−3} m^{−1}",{"s":138,"f":139},"*κ*_{II}","= 60 \u002F 26 169 = 2,29 · 10^{−3} m^{−1}",{"s":141,"f":142,"ref":143},"*κ*","= *ζ κ*_{II} + (1 − *ζ*) *κ*_{I} = 0,635 · 2,29 + 0,365 · 0,58 = 1,67 · 10^{−3} m^{−1}","(7.18)",{"s":145,"f":146,"res":45},"*EI*_{sec}","= *M* \u002F *κ* = 60 \u002F 1,668 · 10^{−3} = **36,0 MNm²**",{"type":15,"text":148},"*β* = 1,0 geldt voor een enkele kortdurende belasting. Voor blijvende of vaak herhaalde belasting neemt §7.4.3(3) *β* = 0,5; dat geeft *ζ* = 0,82 en *EI*_{sec} = 30,3 MNm² bij hetzelfde moment. FIG. 2 toont de lijn bij kortdurende belasting van nul tot 160 kNm.",{"type":35,"diagram":150,"caption":151,"clause":128},"mnk-sls","De doorsnede uit het voorbeeld bij kortdurende belasting: ongescheurd tot *M*_{cr}, daarna naar de volledig gescheurde lijn toe. Bij 60 kNm is de secansstijfheid 35 % van de ongescheurde waarde.",{"type":95,"title":153,"clause":38,"rows":154},"Uiterste grenstoestand: het eind van de lijn",[155,159,162,165,168,171,174],{"s":156,"f":157,"ref":158},"*f*_{cd}","= *α*_{cc} *f*_{ck} \u002F *γ*_{c} = 1,0 · 30 \u002F 1,5 = 20,0 N\u002Fmm²","(3.15)",{"s":160,"f":161},"*f*_{yd}","= *f*_{yk} \u002F *γ*_{s} = 500 \u002F 1,15 = 434,8 N\u002Fmm²",{"s":163,"f":164},"*x*_{u}","= *A*_{s} *f*_{yd} \u002F (0,810 *f*_{cd} *b*) = 942,5 · 434,8 \u002F (0,810 · 20 · 300) = 84,4 mm",{"s":166,"f":167,"res":45},"*M*_{Rd}","= *A*_{s} *f*_{yd} (*d* − 0,416 *x*_{u}) = 409,8 kN · 414,9 mm = **170,0 kNm**",{"s":169,"f":170},"*κ*_{u}","= *ε*_{cu2} \u002F *x*_{u} = 0,0035 \u002F 84,4 mm = 41,5 · 10^{−3} m^{−1}",{"s":172,"f":173},"*ε*_{s}","= *ε*_{cu2} (*d* − *x*_{u}) \u002F *x*_{u} = 15,2 ‰ > *ε*_{yd} = 2,17 ‰, dus het staal vloeit",{"note":45,"f":175},"De factoren 0,810 en 0,416 horen bij het parabool-rechthoekdiagram met *ε*_{c2} = 2,0 ‰ en *ε*_{cu2} = 3,5 ‰: de betondrukkracht is 0,810 *f*_{cd} *b x* en grijpt aan op 0,416 *x* onder de bovenzijde.",{"type":15,"text":177},"Dit is de top van de UGT-lijn voor *N* = 0 in FIG. 1, waar het vezelmodel dezelfde 170,0 kNm vindt.",{"type":11,"id":179,"text":180},"toepassingen","Waarvoor je het diagram gebruikt",{"type":182,"text":183},"h3","Doorbuiging van betonliggers",{"type":15,"text":185},"Langs een ligger varieert het moment, en dus ook de stijfheid: bij de opleggingen van een vrij opgelegde ligger is het beton ongescheurd, in het midden gescheurd. §7.4.3(7) noemt de meest nauwkeurige methode: bereken de kromming in veel doorsneden langs de staaf en integreer die numeriek tot een doorbuiging. Een M-κ-diagram geeft elke doorsnede de kromming die bij het moment daar hoort.",{"type":15,"text":187},"In een statisch onbepaalde ligger speelt nog iets. De stijfheid verandert ook de momentenverdeling, omdat gescheurde zones minder moment naar zich toe trekken. Een fysisch niet-lineaire berekening itereert tot momenten en stijfheden bij elkaar passen.",{"type":182,"text":189},"Slanke kolommen en tweede-orde-effecten",{"type":15,"text":191},"In een slanke kolom hangt het extra moment door de uitbuiging af van de stijfheid, en die stijfheid hangt weer af van het moment en de normaalkracht. De algemene methode van §5.8.6 lost dat op met een niet-lineaire berekening op basis van dit gedrag, inclusief kruip. De methode met nominale stijfheid (§5.8.7) en die met nominale kromming (§5.8.8) zijn vereenvoudigingen van hetzelfde idee.",{"type":182,"text":193},"Een aangenomen stijfheid controleren",{"type":15,"text":195},"In raamwerkmodellen krijgen gescheurde betonstaven vaak een gereduceerde *EI*. Het diagram laat zien hoe groot die reductie werkelijk is voor een gegeven doorsnede, moment en normaalkracht, in plaats van een vuistregel.",{"type":11,"id":197,"text":198},"software","M-N-κ in XConstruct en XBeam2D",{"type":15,"text":200},"XConstruct heeft een betonmodule met een geïntegreerd M-N-κ-diagram, voor alle soorten betondoorsneden. Het geeft ook de stijfheid *EI* bij een moment *M*_{Ed} dat je opgeeft, en sinds versie 2025-01-01 (september 2024) toont het het diagram voor zowel kortdurende als langdurende belasting.",{"type":15,"text":202},"Het diagram is ook geïntegreerd in [XBeam2D](product:xbeam2d). Hierdoor is de doorbuigingsberekening in XBeam2D fysisch niet-lineair: voor elk punt van de ligger neemt het programma de stijfheid die bij het buigend moment daar hoort, en gebruikt die voor zowel de krachtsverdeling als de doorbuiging. Alle formules die in het resultaat meegaan, staan in de uitvoer, zodat de berekening volledig transparant blijft.",{"type":35,"image":204,"caption":214},{"src":205,"width":206,"height":207,"alt":208,"sources":209},"\u002Fimg\u002Fresources\u002Flearn\u002Fm-n-kappa-xconstruct-1600.webp",1600,869,"XConstruct 1.05: de profieleigenschappen van een T-doorsnede met 4Ø25 boven en onder, en rechts het rapport met het M-N-κ-diagram voor de uiterste grenstoestand",[210,213],{"src":211,"width":212},"\u002Fimg\u002Fresources\u002Flearn\u002Fm-n-kappa-xconstruct-800.webp",800,{"src":205,"width":206},"XConstruct: een T-doorsnede met 4Ø25 boven en onder, en het rapport met het M-N-κ-diagram voor de uiterste grenstoestand. Schermafbeelding uit 2022 (versie 1.05).",{"type":35,"image":216,"caption":224},{"src":217,"width":206,"height":218,"alt":219,"sources":220},"\u002Fimg\u002Fresources\u002Flearn\u002Fm-n-kappa-xbeam2d-1600.webp",867,"XBeam2D 3.07: een betonligger over twee velden met de momentenomhullende, en de rapportpagina met de buigtoets van de betondoorsnede",[221,223],{"src":222,"width":212},"\u002Fimg\u002Fresources\u002Flearn\u002Fm-n-kappa-xbeam2d-800.webp",{"src":217,"width":206},"XBeam2D: een betonligger over twee velden met de omhullende van de buigende momenten, en de rapportpagina met de buigtoets van de doorsnede. Schermafbeelding uit 2022 (versie 3.07).",{"type":226,"tone":227,"date":228,"text":229},"callout","editor","2026-09-28",[230],"Dit artikel is een uitbreiding van het bericht “M-N-kappa diagram” van 10 juni 2022. De beschrijving van XConstruct en XBeam2D komt uit dat bericht, net als de schermafbeeldingen; de huidige interface ziet er anders uit. De theorie, het rekenvoorbeeld en de versiedata zijn op 28 september 2026 toegevoegd.",{"type":11,"id":232,"text":233},"fouten","Veelgemaakte fouten",{"type":20,"items":235},[236,237,238,239],"**De UGT-relatie voor een doorbuiging.** De partiële factoren maken de doorsnede slapper en zwakker dan ze is, en zonder treksterkte verdwijnt de ongescheurde fase helemaal.","**Geen kruip.** Onder blijvende belasting groeit de kromming in de tijd. Gebruik *E*_{c,eff} uit (7.20) voor de lijn bij langdurende belasting.","**Overal de volledig gescheurde stijfheid.** Die negeert tension stiffening en de ongescheurde zones, en overschat dus de doorbuiging, zoals de bruto stijfheid haar onderschat.","**Geen normaalkracht.** Een kolom of een voorgespannen element heeft een heel andere lijn dan dezelfde doorsnede op zuivere buiging.",{"type":241,"items":242},"sources",[243,244,245],"NEN-EN 1992-1-1+C2:2011 met nationale bijlage (EN 1992-1-1:2004), Eurocode 2: Ontwerp en berekening van betonconstructies, deel 1-1: §3.1.5, §3.1.7, §3.2.7, §5.8.6–5.8.8, §6.1, §7.4.3.","Struct4U, “M-N-kappa diagram”, struct4u.com, 10 juni 2022: het bericht dat dit artikel vervangt.","Struct4U, [release notes XConstruct](https:\u002F\u002Fsoftware.struct4u.win\u002Fdownloads\u002FXConstruct\u002FRelease_notes_XConstruct.pdf): versie 1.02.02 (*EI* bij een gegeven moment) en versie 2025-01-01 van 21 september 2024 (diagrammen voor kort- en langdurende belasting).",1792702121839]