Inhoud
Wat het diagram laat zien
Kromming is de rotatie per lengte-eenheid van de staafas: κ = 1/r, het omgekeerde van de kromtestraal. Omdat vlakke doorsneden vlak blijven, is het ook het rekverloop over de hoogte. Met een drukrek εc aan de bovenzijde en een trekrek εs in de wapening op diepte d geldt κ = (εc + εs) / d.
Voor een lineair-elastisch materiaal is het verband een rechte lijn, M = EI · κ. Gewapend beton is niet lineair: het scheurt, het staal vloeit en het beton bezwijkt op druk. Het M-κ-diagram legt dat gedrag vast in één lijn, in drie fasen.
- Ongescheurd (stadium I). Beton en staal werken samen en de stijfheid is EcmII. Deze fase eindigt bij het scheurmoment Mcr, als de trekspanning fctm bereikt.
- Gescheurd (stadium II). Ter plaatse van een scheur telt het beton in de trekzone niet meer mee en daalt de stijfheid, vaak tot een kwart of een derde van de ongescheurde waarde. Tussen de scheuren draagt het beton nog wel wat trek mee (tension stiffening), dus de werkelijke lijn ligt tussen de ongescheurde en de volledig gescheurde lijn.
- Vloeien en bezwijken. Zodra de wapening vloeit, stijgt het moment nauwelijks nog terwijl de kromming blijft toenemen, tot het beton aan de gedrukte zijde zijn uiterste rek εcu bereikt. Dat punt geeft de momentcapaciteit en de rotatiecapaciteit, een maat voor de taaiheid.
Wat een ligger- of raamwerkberekening nodig heeft, is de secansstijfheid EIsec = M / κ bij het moment dat werkelijk optreedt. Die hangt af van dat moment, en daarom is gescheurd beton fysisch niet-lineair.
Waarom de normaalkracht N ertoe doet
Een normaalkracht verandert elk punt van de lijn. Druk stelt het scheuren uit, omdat de buiging die druk eerst moet overwinnen. Druk verhoogt de momentcapaciteit tot aan het balanspunt, waar het staal vloeit op het moment dat het beton bezwijkt; voorbij dat punt verlaagt meer druk de momentcapaciteit weer. En druk verkleint de kromming bij bezwijken: de doorsnede wordt sterker maar minder taai.
Eén doorsnede heeft dus een familie van lijnen, één voor elke waarde van N: een M-N-κ-diagram. FIG. 1 toont er drie voor de doorsnede uit het rekenvoorbeeld hieronder.
Hoe je het diagram berekent
De berekening volgt de uitgangspunten van NEN-EN 1992-1-1 §6.1(2): vlakke doorsneden blijven vlak, aanhechtende wapening heeft dezelfde rek als het omringende beton, en elk materiaal volgt zijn eigen spanning-rekrelatie. Eén punt van het diagram kost vier stappen.
- Kies een kromming κ.
- Zoek de rek in de bovenste vezel waarbij de inwendige krachten samen gelijk zijn aan de optredende normaalkracht N. Dat vraagt iteratie, omdat de spanning-rekrelaties niet lineair zijn.
- Integreer de spanningen van dat rekverloop over de doorsnede; dat geeft het moment M.
- Herhaal dit voor een oplopende κ tot het beton of het staal zijn rekgrens bereikt.
Software doet dit met een vezelmodel: het beton wordt in dunne lagen verdeeld en elke wapeningsstaaf is een punt. Zo kan elke vorm worden berekend, van T-balken tot kokerdoorsneden en wanden met wapening in meerdere lagen.
Welke spanning-rekrelaties je gebruikt
Dat hangt af van waar het diagram voor is. De verkeerde set kiezen is de meest gemaakte fout met M-κ-diagrammen.
| Doel | Beton | Wapening | Artikel |
|---|---|---|---|
| Doorbuiging, kortdurend (BGT) | gemiddelde waarden: Ecm; scheuren bij fctm | elastisch, Es = 200 000 N/mm² | §7.4.3 |
| Doorbuiging, langdurend (BGT) | effectieve elasticiteitsmodulus Ec,eff = Ecm / (1 + φ(∞,t0)) | als hierboven | §7.4.3 (7.20) |
| Sterkte van de doorsnede (UGT) | rekenwaarde van de relatie (parabool-rechthoek of bilineair), fcd = αccfck / γc; trek verwaarloosd | rekenwaarde, fyd = fyk / γs | §3.1.7, §3.2.7, §6.1 |
| Niet-lineaire berekening van slanke kolommen | relatie (3.14) met fcd en Ecd = Ecm / γcE; inclusief kruip | rekenwaarden | §3.1.5, §5.8.6 |
γcE = 1,2 is de aanbevolen waarde in §5.8.6(3); de nationale bijlage kan een andere waarde geven. In de Nederlandse nationale bijlage is αcc = 1,0.
Voor een doorbuiging beschrijft het diagram het te verwachten gedrag, dus het gebruikt gemiddelde materiaalwaarden. Voor de sterkte zitten de partiële factoren al in de relaties, en de top van het diagram is dan direct de rekenwaarde van de momentcapaciteit MRd.
Rekenvoorbeeld: een rechthoekige ligger
Een ligger van 300 × 500 mm in C30/37 met 3Ø20 B500B onder: As = 942 mm², d = 450 mm, geen normaalkracht. Uit tabel 3.1: fctm = 2,9 N/mm² en Ecm = 33 000 N/mm². Om de handberekening kort te houden, gebruikt de ongescheurde stijfheid de bruto betondoorsnede; met de wapening erbij wordt die een paar procent hoger.
β = 1,0 geldt voor een enkele kortdurende belasting. Voor blijvende of vaak herhaalde belasting neemt §7.4.3(3) β = 0,5; dat geeft ζ = 0,82 en EIsec = 30,3 MNm² bij hetzelfde moment. FIG. 2 toont de lijn bij kortdurende belasting van nul tot 160 kNm.
Dit is de top van de UGT-lijn voor N = 0 in FIG. 1, waar het vezelmodel dezelfde 170,0 kNm vindt.
Waarvoor je het diagram gebruikt
Doorbuiging van betonliggers
Langs een ligger varieert het moment, en dus ook de stijfheid: bij de opleggingen van een vrij opgelegde ligger is het beton ongescheurd, in het midden gescheurd. §7.4.3(7) noemt de meest nauwkeurige methode: bereken de kromming in veel doorsneden langs de staaf en integreer die numeriek tot een doorbuiging. Een M-κ-diagram geeft elke doorsnede de kromming die bij het moment daar hoort.
In een statisch onbepaalde ligger speelt nog iets. De stijfheid verandert ook de momentenverdeling, omdat gescheurde zones minder moment naar zich toe trekken. Een fysisch niet-lineaire berekening itereert tot momenten en stijfheden bij elkaar passen.
Slanke kolommen en tweede-orde-effecten
In een slanke kolom hangt het extra moment door de uitbuiging af van de stijfheid, en die stijfheid hangt weer af van het moment en de normaalkracht. De algemene methode van §5.8.6 lost dat op met een niet-lineaire berekening op basis van dit gedrag, inclusief kruip. De methode met nominale stijfheid (§5.8.7) en die met nominale kromming (§5.8.8) zijn vereenvoudigingen van hetzelfde idee.
Een aangenomen stijfheid controleren
In raamwerkmodellen krijgen gescheurde betonstaven vaak een gereduceerde EI. Het diagram laat zien hoe groot die reductie werkelijk is voor een gegeven doorsnede, moment en normaalkracht, in plaats van een vuistregel.
M-N-κ in XConstruct en XBeam2D
XConstruct heeft een betonmodule met een geïntegreerd M-N-κ-diagram, voor alle soorten betondoorsneden. Het geeft ook de stijfheid EI bij een moment MEd dat je opgeeft, en sinds versie 2025-01-01 (september 2024) toont het het diagram voor zowel kortdurende als langdurende belasting.
Het diagram is ook geïntegreerd in XBeam2D. Hierdoor is de doorbuigingsberekening in XBeam2D fysisch niet-lineair: voor elk punt van de ligger neemt het programma de stijfheid die bij het buigend moment daar hoort, en gebruikt die voor zowel de krachtsverdeling als de doorbuiging. Alle formules die in het resultaat meegaan, staan in de uitvoer, zodat de berekening volledig transparant blijft.
Veelgemaakte fouten
- De UGT-relatie voor een doorbuiging. De partiële factoren maken de doorsnede slapper en zwakker dan ze is, en zonder treksterkte verdwijnt de ongescheurde fase helemaal.
- Geen kruip. Onder blijvende belasting groeit de kromming in de tijd. Gebruik Ec,eff uit (7.20) voor de lijn bij langdurende belasting.
- Overal de volledig gescheurde stijfheid. Die negeert tension stiffening en de ongescheurde zones, en overschat dus de doorbuiging, zoals de bruto stijfheid haar onderschat.
- Geen normaalkracht. Een kolom of een voorgespannen element heeft een heel andere lijn dan dezelfde doorsnede op zuivere buiging.
- NEN-EN 1992-1-1+C2:2011 met nationale bijlage (EN 1992-1-1:2004), Eurocode 2: Ontwerp en berekening van betonconstructies, deel 1-1: §3.1.5, §3.1.7, §3.2.7, §5.8.6–5.8.8, §6.1, §7.4.3.
- Struct4U, “M-N-kappa diagram”, struct4u.com, 10 juni 2022: het bericht dat dit artikel vervangt.
- Struct4U, release notes XConstruct (opent in een nieuw tabblad): versie 1.02.02 (EI bij een gegeven moment) en versie 2025-01-01 van 21 september 2024 (diagrammen voor kort- en langdurende belasting).
Oorspronkelijk gepubliceerd op struct4u.com op .