Inhoud
Wat tweede-orde-effecten zijn
Een eerste-ordeberekening bepaalt de krachtsverdeling op de onvervormde constructie. In werkelijkheid vervormt de constructie, en dan werken de verticale belastingen op een verplaatste geometrie: een kolom die δ uit het lood staat, draagt zijn normaalkracht N met een extra moment N · δ. Dat moment vergroot de verplaatsing, en die vergroot het moment weer. In een stijf raamwerk convergeert dat snel en is het effect klein. In een slap raamwerk niet, en bij de elastische kniklast knikt het raamwerk.
Er zijn twee niveaus. Globale effecten (P-Δ) komen van de zijdelingse verplaatsing van het raamwerk als geheel; staafeffecten (P-δ) van de uitbuiging van elke staaf tussen de knopen. Beide ontstaan door druk op een vervormde vorm, en beide beginnen bij een imperfecte vorm.
Wanneer eerste orde volstaat: αcr
Artikel 5.2.1(3) staat een eerste-ordeberekening toe als de vervormingen de krachten niet wezenlijk vergroten. Dat mag je aannemen als:
Voor portalen met flauwe daken en voor vlakke raamwerken van liggers en kolommen in gebouwen geeft §5.2.1(4)B een benadering per verdieping:
De benadering gaat uit van een dak dat niet steiler is dan 1:2 (26°) en van een niet-significante drukkracht in de liggers of spanten. Die drukkracht is significant als λ̄ ≥ 0,3 √(A fy / NEd) (5.3), met λ̄ de slankheid in het vlak van de ligger, gezien als scharnierend opgelegd. Buiten dat toepassingsgebied volgt αcr uit een elastische stabiliteitsberekening van het raamwerk.
Imperfecties: scheefstand en kromming
Echte raamwerken staan nooit precies te lood en echte staven zijn nooit helemaal recht. §5.3 dekt dat af met equivalente geometrische imperfecties, die ook restspanningen en kleine excentriciteiten vervangen. Voor raamwerken tellen er twee (FIG. 1).
Scheefstand van het raamwerk
Je mag de scheefstand modelleren als een scheve geometrie, of vervangen door horizontale krachten φ · NEd boven in elke kolom (§5.3.2(7)). Hij geldt in elke relevante horizontale richting, steeds één richting tegelijk (§5.3.2(8)); in raamwerken met meer verdiepingen werken de vervangende krachten op elke vloer en op het dak (§5.3.2(9)). Bij gebouwen mag je hem weglaten als HEd ≥ 0,15 VEd (5.7), dus als de horizontale belasting al groot is ten opzichte van de verticale.
Boogimperfectie van een staaf
De initiële kromming van een staaf, e0/L, hangt af van de knikkromme. De nationale bijlage mag eigen waarden geven; tabel 5.1 geeft de aanbevolen waarden.
| Knikkromme | a0 | a | b | c | d |
|---|---|---|---|---|---|
| Elastische berekening | 1/350 | 1/300 | 1/250 | 1/200 | 1/150 |
| Plastische berekening | 1/300 | 1/250 | 1/200 | 1/150 | 1/100 |
In de globale berekening van een raamwerk dat gevoelig is voor tweede-orde-effecten hoef je de kromming alleen te modelleren voor gedrukte staven met ten minste één momentvaste verbinding en λ̄ > 0,5 √(A fy / NEd) (5.8). In alle andere gevallen dekken de staaftoetsen van §6.3 haar af.
Drie manieren om tweede-orde-effecten mee te nemen
Artikel 5.2.2(3) kent drie routes, afhankelijk van het raamwerk en de berekening.
- Alles in de globale berekening. Tweede-orde-effecten, scheefstand en boogimperfecties zitten allemaal in het model. Een staaftoets op knik volgens §6.3 is dan niet nodig (§5.2.2(7)a); de doorsneden worden getoetst met de krachten uit de berekening.
- Deels in de globale berekening, deels in staaftoetsen. De berekening bevat de globale tweede-orde-effecten en de scheefstand. De staven worden daarna volgens §6.3 getoetst op wat de berekening niet meenam, met de eindkrachten en -momenten uit die berekening, en de kniklengte mag gelijk aan de systeemlengte worden genomen (§5.2.2(7)b).
- Alleen staaftoetsen. Voor eenvoudige gevallen: een eerste-ordeberekening zonder imperfecties, met staaftoetsen volgens §6.3 op basis van kniklengten uit de globale knikvorm van het raamwerk (§5.2.2(8)).
Route 3 is de klassieke handmethode. Het zwakke punt is de kniklengte: in een ongeschoord raamwerk hangt die af van de stijfheid van liggers en verbindingen en van de verdeling van de normaalkrachten, en dus verschilt ze per belastingcombinatie. Routes 1 en 2 omzeilen die vraag.
De vergrotingsfactor
Voor raamwerken van één verdieping die elastisch worden berekend, is er een kortere weg: §5.2.2(5)B staat toe de effecten van zijdelingse verplaatsing uit een eerste-ordeberekening te vergroten in plaats van tweede orde te rekenen.
Bij αcr < 3,0 is een nauwkeuriger tweede-ordeberekening nodig. §5.2.2(6)B breidt de methode uit naar raamwerken met meer verdiepingen, als alle verdiepingen een vergelijkbare verdeling van verticale belasting, horizontale belasting en stijfheid hebben. FIG. 2 toont de factor.
Rekenvoorbeeld: een portaal
Een raamwerk van één verdieping met twee kolommen, h = 6,0 m. Elke kolom draagt NEd = 120 kN, dus VEd = 240 kN. De rekenwaarde van de windbelasting geeft HEd = 12,0 kN bovenin.
Een eerste-ordeberekening onder de windbelasting plus de vervangende krachten, samen 12,85 kN, geeft bovenin een horizontale verplaatsing van 20 mm. Het dak is flauw en de drukkracht in het spant klein, dus (5.2) is van toepassing.
Met slappere kolommen geeft dezelfde belasting 40 mm verplaatsing.
In beide gevallen worden de staven daarna volgens §6.3 getoetst op knik en kip, met de eindmomenten uit de berekening. Omdat de berekening de globale tweede-orde-effecten en de scheefstand bevat, mogen de kniklengten gelijk aan de systeemlengten worden genomen.
Hoe XFEM4U en XFrame2D dit doen
In XFEM4U en XFrame2D is een Eurocode-toets voor staal of hout altijd gebaseerd op een geometrisch niet-lineaire (tweede-orde)berekening, met de scheefstand van §5.3.2(3)a automatisch meegenomen. XFEM4U verschuift daarvoor de knoopcoördinaten, één keer in positieve en één keer in negatieve richting, zodat elke UGT-combinatie twee keer wordt doorgerekend; XFrame2D past de scheefstand toe in beide richtingen van zijn vlak. In beide programma’s geef je m, het aantal kolommen in een rij, op in de rekeninstellingen.
De boogimperfecties van §5.3.2(3)b zitten niet in de berekening. Dat is route 2: de staven worden volgens §6.3 getoetst, en omdat de berekening de globale tweede-orde-effecten en de scheefstand bevat, mag de kniklengte gelijk aan de staaflengte worden genomen (§5.2.2(7)b). Je hoeft dus geen kniklengten uit een knikvorm af te leiden en het raamwerk niet in te delen als geschoord of ongeschoord: of het gevoelig is voor tweede-orde-effecten, volgt uit de berekening.
Twee grenzen. De tweede-ordeberekening geldt voor de staven; platen worden in XFEM4U geometrisch lineair berekend. En de staaftoetsen blijven nodig: een geometrisch niet-lineaire berekening zonder boogimperfecties vervangt de toetsen op knik en kip van §6.3 niet.
Veelgemaakte fouten
- Maar één richting. De scheefstand geldt in elke relevante horizontale richting, één tegelijk (§5.3.2(8)). Een raamwerk dat naar de ene kant veilig staat, hoeft dat naar de andere kant niet te doen.
- Geen vervangende krachten in αcr. HEd in (5.2) bevat de vervangende krachten van de imperfecties, en δH,Ed moet uit dezelfde belasting komen.
- (5.2) buiten het toepassingsgebied. Het is een benadering voor flauwe daken en liggers zonder significante druk. Voor andere raamwerken volgt αcr uit een elastische stabiliteitsberekening.
- Systeemlengte na een eerste-ordeberekening. De kortere weg van §5.2.2(7)b geldt alleen als de berekening de globale tweede-orde-effecten en de scheefstand bevat.
- Vergroten onder αcr = 3. Dan geldt (5.4) niet meer en is een nauwkeuriger tweede-ordeberekening nodig.
- NEN-EN 1993-1-1+C2:2011 met nationale bijlage (EN 1993-1-1:2005), Eurocode 3: Ontwerp en berekening van staalconstructies, deel 1-1: §5.2.1, §5.2.2, §5.3.2, §5.3.4, tabel 5.1, §6.3.
- De handleiding van XFEM4U en de handleiding van XFrame2D: Calculation settings, en References, Background, Buckling.