Hoe bereken je wapening in platen uit EEM-resultaten, ook voor dwarskracht?

1Wat de EEM-berekening je geeft

Voor elke knoop van het elementennet levert een plaat- of schaalberekening acht grootheden, alle per eenheid van breedte: de schijfkrachten n_xx, n_yy en n_xy; de buigende momenten m_xx en m_yy en het wringend moment m_xy; en de dwarskrachten v_x en v_y. Wapening ligt meestal in twee richtingen haaks op elkaar, x en y, aan de boven- en onderzijde. De vraag is hoeveel wapening elk van die vier lagen nodig heeft, en of de plaat dwarskrachtwapening nodig heeft.

De berekening zelf is lineair-elastisch. Wie daar wapening uit afleidt, gaat ervan uit dat lokaal plastische herverdeling mogelijk is; dat is de gebruikelijke basis van het ontwerpen in gewapend beton.

2Stap 1: schijfkrachten en de vakwerkanalogie

Normaalkrachten zijn eenvoudig: n_xx gaat naar de wapening in x-richting en n_yy naar die in y-richting. De schuifkracht n_xy niet. De gebruikelijke aanpak, ook achter bijlage F van NEN-EN 1992-1-1, vervangt die door trek in beide wapeningsrichtingen en een drukdiagonaal in het beton. Met de helling van de diagonalen geschreven als k (k = 1 bij 45°), trek positief:

k = 1 geeft de minste wapening in totaal. Als een van de wapeningskrachten negatief wordt, zetten programma’s die meestal gewoon op nul. Eleganter is het om k zo te kiezen dat die kracht precies nul wordt; dat bespaart wapening in de andere richting.

De wapening in y-richting daalt van 730 naar 620 kN/m, 15 % minder, en in x-richting is geen wapening nodig. Daar staat een hogere betondrukkracht tegenover: 715 in plaats van 660 kN/m.

Algemeen uitgewerkt valt elk schijfelement in een van vier gevallen (FIG. 2): wapening in beide richtingen, alleen in x, alleen in y, of geen wapening omdat het element in alle richtingen gedrukt is. In dat laatste geval wordt de grootste hoofddrukkracht getoetst aan de betondruksterkte. De overgangen tussen de gevallen zijn vloeiend, en dat is belangrijk voor een programma dat in elke knoop moet beslissen.

3Stap 2: buiging en het drielagenmodel

Voor momenten gebruiken de meeste programma’s de methode Wood-Armer. Die is overzichtelijk, maar volgens Blaauwendraad en Braam heeft ze drie tekortkomingen: bij dominante wringmomenten en hoge wapeningspercentages is ze onveilig, ze zegt niets over de betondrukspanning aan de boven- en onderzijde van de plaat, en ze biedt geen oplossing als dwarskrachtwapening nodig is. Dan resteren alleen een dikkere plaat of een hogere betonsterkteklasse.

Het sandwichmodel van Marti, beschreven in een bijlage van Eurocode 2 voor bruggen, verdeelt de plaat in drie lagen (FIG. 3): een boven- en een onderschil die de momenten en schijfkrachten opnemen, en een kern die de dwarskracht draagt. De momenten worden een koppel van schijfkrachten in de schillen, met hefboomsarm d_v tussen de harten van de schillen.

Elke schil wordt daarna als schijf gewapend, met dezelfde vier gevallen, en de betondrukkracht in de schil wordt getoetst. Boven- en onderschil kunnen in verschillende gevallen vallen, met drukdiagonalen in verschillende richtingen.

Net als Wood-Armer is het drielagenmodel bedoeld voor niet al te hoge wapeningsverhoudingen en niet-dominante wringing, en dat dekt de meeste praktijkplaten. De echte winst is de toets op de betondrukspanning in beide schillen en de uitbreiding naar dwarskrachtwapening.

4Stap 3: dwarskrachtwapening in platen

In een plaat heeft de dwarskracht een richting. De maximale dwarskracht is v₀ = √(v_x² + v_y²), in de richting φ₀ met tan φ₀ = v_y / v_x; loodrecht daarop is de dwarskracht nul. v₀ wordt vergeleken met de weerstand zonder dwarskrachtwapening, v_Rd,c uit NEN-EN 1992-1-1 §6.2.2, met de wapeningsverhouding en de normaalkracht in de richting van v₀.

Waar v₀ groter is dan v_Rd,c, krijgt de kern beugels en worden de drukdiagonalen in de kern getoetst, onder een hoek θ tussen ongeveer 22° en 45°, net als bij liggers (§6.2.3). De diagonalen drukken bovendien de schillen uit elkaar: elke schil krijgt een extra trekkracht ½ v₀ cot θ in de richting van v₀. Dat is de plaatversie van het verschuiven van de momentenlijn bij een ligger, en het geeft extra wapening in beide schillen.

Omdat v_Rd,c afhangt van de wapeningsverhouding, loopt de berekening twee keer: eerst de wapening van de schillen uit de momenten, daarna per knoop de beslissing over dwarskrachtwapening, die weer wapening aan de schillen toevoegt. De auteurs concluderen dat stoppen na deze tweede rekengang veilig is. Ook de toets op scheurwijdte heeft een plaats in dit iteratieproces.

Rond kolommen: de ponstoets

Het model geeft ook dwarskrachtwapening rond kolommen, waar je die niet nodig hebt, omdat daar de ponstoets van §6.4 geldt. Die levert een fors kleinere vraag aan verticale wapening: de ponsformule laat de gedrukte onderschil boven de kolom een groot deel van de dwarskracht opnemen, terwijl in het drielagenmodel de kern alle dwarskracht draagt. Rond een kolomkop is er eigenlijk geen plaatwerking meer, maar een axiaal-symmetrische driedimensionale spanningstoestand. XConstruct heeft een ponsmodule voor deze toets.

Elders treedt dwarskrachtwapening meestal op in kleine, lokale gebieden: waar een ondersteunende wand midden in een plaat eindigt, of in de stompe hoek van een scheef viaduct. Is ze over vele vierkante meters nodig, dan ligt een dikkere plaat of een hogere betonsterkteklasse meer voor de hand.

5Wat het XFEM4U-rapport laat zien

XFEM4U drukt de hele rekengang per knoop af, zodat je elke stap kunt narekenen. De twee rapportpagina’s hieronder tonen knoop 24 van een plaat van 200 mm, met schildiktes d_t = d_b = 66 mm en d_v = 134 mm.

• Dwarskracht: v₀ = √(4,42² + 4,17²) = 6,07 kN/m, tegen v_Rd,c = 73,1 kN per meter, de grootste van (6.2.a) en (6.2.b) met v_min uit (6.3N). Er is geen dwarskrachtwapening nodig.
• Bovenschil: n_xx,t = −53,48, n_yy,t = 0,05 en n_xy,t = 19,61 kN/m: geval 3, alleen wapening in y-richting, 17 mm²/m. De betondrukkracht van 60,66 kN/m blijft ver onder 880 kN/m.
• Onderschil: geval 1, wapening in beide richtingen: 186 mm²/m in x en 56 mm²/m in y.
• Minimumwapening komt als laatste, bijvoorbeeld 232 mm²/m onder in x-richting.

6Waarom het elementtype ertoe doet

Betrouwbare dwarskrachtwapening vraagt betrouwbare dwarskrachten. XFEM4U gebruikt een hybride plaatelement: een vierhoek met 12 vrijheidsgraden, waarvan de verplaatsingen alleen langs de randen worden aangenomen, terwijl de momenten binnen het element kwadratisch verlopen, beschreven met 17 momentparameters die onderling in evenwicht zijn. Het element volgt uit het minimaliseren van de complementaire energie. Zulke elementen geven een voor constructeurs duidelijke momentenverdeling over het element en betrouwbare dwarskrachten; de bouwdiensten van Rijkswaterstaat gebruikten ze al in de jaren zeventig.

Platen worden in XFEM4U geometrisch lineair berekend; voor de staven worden tweede-orde-effecten meegenomen.